신호에 들어가기 전 기초 다지기

오일러 공식과 complex number

오일러 공식의 증명

$\theta$의 크기에 따라서 가능한 경우의 수를 찍어본다면 위와 같은 원의 형태로의 자취가 나오겠다.

Re영역으로 1인 원이 그려지는 것이니 벡터의 길이 $|e^{i \theta}| = 1$이 자연스럽다.

이로써 $Ae^{i \theta}$의 지수함수 형태로 complex number을 표현할 수 있다.

이것이 곧 오일러 공식의 장점으로도 작용한다.

A에 따라서는 원의 크기가 달라지게 되는 것이다.

 

주기와 주파수

주기(초) : 한 cycle 도는 데의 시간 t가 궁금

(너 운동장 한바퀴 돌면 몇 초 걸려?)

 

주파수(Hz) : 1초 동안 일어난 cycle 수가 궁금

(팽이가 1초 동안 몇번 돈거야?)

진폭 변경

위상 변경

주파수 변경

sin의 한 cycle은 360도이기에,

만일 1초 동안 한 cycle이라면, 1초 동안 0에서 360도로 각도가 바뀌었다고 볼 수 있다.

주파수 1Hz는 1초 동안 1번의 주기를 보이는 것이고 이는 1초 동안 0에서 360도로 변한 것이다.

주파수의 변화는 시간당 각도의 변화가 얼마나 빨리 이루어지는가를 나타내는 것이라고도 할 수 있다.

 

이를 sin함수에 적용하려면 어떻게 해야 할까?

진폭의 변화는 $y(\theta) = Asin\theta$, 위상의 변화는 $y(\theta) = Asin(\theta-\phi)$로 나타내었다.

주파수의 변화는 $\theta$가 시간에 따라 변하는 값이기에 $\theta$만으로는 표현이 안된다.

각도 $\theta$가 얼마나 빨리 변하는지를 나타내는 각속도 \$omega$를 도입한다.

 

일반적으로 속도 = 거리 / 시간이다.

이처럼 각속도는 단위 시간 t에 회전한 각도를 나타내기 위해 각도를 시간으로 나눈다.

각도 변화의 빠르기 라고 생각하면 편하겠다.

$w = \frac {\theta}{t}$

 

그렇기에 이제부터는 $y = sin\theta$에서 $y(t) = sin\omega t$로 표현하여 시간에 따라 어떠한 각도 값을 가지는지 표현할 수 있게 되었다. 

 

$\omega$는 시간에 따른 각도의 변화를 의미하기에 $\omega$가 커질수록 각도가 빨리 변한다. 각도가 빠르게 변화함은 주기가 짧아진다는 것이고 이는 곧 주파수가 증가한다는 것이다.

 

주파수는 시간 당 몇 개의 cycle이 있느냐기에 이를 각도로 표현하면 시간당 360도짜리 회전이 몇 번 있느냐와 같다.

 

주파수$f$ = 시간당 cycle 수 = 시간당 360도만큼 몇 번 도는가

 

각속도 = $2\pi$ x frequency이다. 왜냐하면 단위시간 당 frequency수 만큼 사이클이 돌아 $2\pi$ x frequency만큼의 각도의 변화가 있었기 때문이다. 그래서 주파수가 2이면 단위시간당 $2\pi$ x 2만큼의 변화가 있었던 것이고 각속도는 $2\pi$ x 2 / 1초 가 된다.

 

$\omega = 2 \pi f = \frac {2 \pi}{T}$

 

$y(t) = \sin \omega t = \sin 2\pi f t = \sin \frac {2\pi}{T}$

 

진폭 + 위상 + 주파수

 

$y(t) = A \sin (\omega t - \phi) = \sin (2\pi ft - \phi) = \sin (\frac {2\pi}{T} - \phi)$