LTI system 들어가기 전 계단함수와 임펄스 응답 알아보기

델타 함수(delta function)와 임펄스 응답(Impulse Response)

 

 

 

 

Step Function $H(t) = \left\{\begin{matrix}
0 & t<0 \\
1 & t\geq 0 \\
\end{matrix}\right.$

Delta Function $\delta (t) = \left\{\begin{matrix}
\infty  & t=0 \\
0 &  t\neq0\\
\end{matrix}\right.$      $\int ^\infty _{-\infty} \delta(t)dt = 1$

 

이 둘의 관계는 step function을 미분하면 delta function이라는 것이다.

 

$\frac {dH(t)}{dt} = \delta(t)$

$H(t) = \int ^\infty_{-\infty} \delta(t)dt$

 

 

step function과 delta function은 공통적으로 t=0의 지점에서 변화가 있는데

어떤 시스템에 입력을 가해 그 응답을 확인하여 해당 시스템의 특성을 파악하는데에 이 함수들이 사용된다.

이들을 당연히 x축으로 a만큼 이동할 수 있겠다. 그러면 t=a 지점에서 응답을 확인하는 형태가 되겠다.

Step Function $H(t) = \left\{\begin{matrix}
0 & t<a \\
1 & t\geq a \\
\end{matrix}\right.$

Delta Function $\delta (t) = \left\{\begin{matrix}
\infty  & t=a \\
0 &  t\neq a\\
\end{matrix}\right.$

 

 

shift된 계단함수와 델타함수는 어떤 시스템, 특히 Linear Time-invariant system인 LTI system에 대한 응답을 확인하여(t=a) 시스템의 특성을 파악하는데에 사용된다.

각각 Unit Step Response, Impulse Response라고 칭한다.

 

Impulse Response의 주목할만한 특성은 Impulse Response에 사용되는 Delta Function은

모든 주파수 영역에서 동일한 응답을 한다는 것이다. 아래 그림처럼 말이다.

 

모든 주파수 영역에서 동일한 응답을 한다는 점은 어떤 시스템의 특성을 파악하는 데에 훌륭하게 사용된다.

어떻게 사용될까?

 

델타함수는 t=0일 때에 무한대의값을 갖는 것은 이상적일 뿐, 현실적으로는 1로 간주하여 사용한다.

이는 델타함수의 모든 영역에서의 적분 값이 1이기 때문에 t=0에서 1로 간주하더라도 괜찮다.

이처럼 $\infty$가 아닌 1로 간주했을 때의 델타함수를 Unit Impulse Function이라고 한다.

 

Unit Impulse Function과 Step Function은 다음의 관계를 만족하는데 이는 잘 알아두자.

$\delta[n] = u[n] - u[n-1]$

$u[n]=\sum\limits_{m=-\infty}^n\delta[m] = \sum\limits_{k = 0}^\infty \delta[n-k]$

 

 

또한 다음 그림과 같은 Sampling Property로,

Sampling Property

$x[n]\delta[n-n_0] = x[n_0]\delta[n-n_0]$

위와 같은 성질을 만족하게 된다. 이에 의거하여

$\int^\infty_{-\infty}x(t)\delta(t-t_0)dt = x(t_0)\int^\infty_{-\infty}\delta(t-t_0)dt = x(t_0)$

위와 같은 특징이 있다. 이는 외워가는 것이 좋다. 

 

 

꼭 무한대의 영역에 대하여 적분할 필요는 없다만, 상수 구간으로 [a, b] 하고자 한다면

반드시 값을 가지는 0이 구간 내 포함되어야 한다. 

나중에 배울 주파수 도메인으로 바꾸는 푸리에 변환 식이 $\int^\infty_{-\infty}x(t)e^{-jwt}dt$이다.

여기에 $x(t) = \delta(t)$이면 위 과정에 의해 1이 되겠다.

 

 

아래는 t=a일 때로만 달라진 것 뿐이다.

 

Impulse Response는 선형성과 시불변성을 만족하는 시스템인 Linear Time-invariant system의 특성을 파악하는데에 이용될 수 있다고 하였다.

 

unknown 시스템의 특성을 파악하고자 할 때 Impulse Response를 사용할 수 있다.

모든 주파수에 대해서 동일한 반응을 보이는 특성이 있음을 이용하여

해당 시스템이 어떤 주파수의 신호에서 어떠한 반응을 보일지 모르는 상황에서

기본단위의 신호인 Impulse Function을 시스템에 가하고 그에 대한 응답을 분석한다면

해당 시스템의 특성을 파악할 수 있다.

 

더 이상의 LTI system에 대한 이야기는 다른 게시글로 작성하겠다.