Linear Time-Invariant System(LTI system) 정의 및 간단 정리

Time invariance(시불변)

x(t)를 어떠한 시스템에 넣어 y(t)를 얻는다 할 때,

$t_0$만큼 옮겨 넣었을 때의 결과도 $t_0$만큼 옮겨 나온다.

 

 

Linearity(선형)

신호 두 개 $x_1(t), x_2(t)$를 각각 시스템에 넣어 출력 $y_1(t), y_2(t)$이 나왔을 때,

두 신호의 선형결합 형태를 시스템에 집어넣을 시 출력의 선형결합한 형태가 유지된다.

 

LTI System with Impulse Response

Unit Impulse Function은 다음과 같이 t=0일 때만 1 값을 갖는 것이다.

위 Impulse function을 임펄스 신호라 할 때 이를 시스템에 input으로 넣어 나온 출력 h[n]을 임펄스 응답이라 한다.

결론부터 말하자면

이 임펄스 응답을 알면 잘 모르는 LTI 시스템에 대한 해석이 가능하다.
어떤 임의의 신호 x[n]이 들어와도 출력 계산이 가능하다는 것이다.

어떻게??

 

 

 

어떠한 시스템이 Linear하고 Time invariant한 특징이 있음만 알고 있다고 하자.

 

신호 x[n]에 대하여 다음과 같이 표현될 수 있다.

$x[n] = ... +x[-1]\delta[x-(-1)]+ x[0]\delta[x-0] + x[1]\delta[x-1] + ... =\sum_\limits{k=-\infty}^{\infty}x[k]\delta[n-k]$

 

1) Linear하기 때문에

$y[n] =\sum_\limits{k=-\infty}^{\infty}x[k]T(\delta[n-k]) $

 

2) Time Invariant하기 때문에

$y[n] = \sum_\limits{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k]$

 

임펄스 응답 h[n]이라고 정의했었다. 특성에 따라 식만 정리하였는데 x[n]의 출력 y[n]이 나왔다.

즉 h[n]을 알면 위의 관계식을 통해서 y[n]을 계산할 수 있는 것이다. 이렇게 임펄스 신호만으로 LTI 시스템이 파악당했다.

 

2)의 식을 Linear convolution이라고 한다.

$y[n] = \sum_\limits{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k]$

$=h[n] * x[n]$

 

 

 

이때 convolution의 특성으로 교환법칙, 분배법칙, 결합법칙이 성립된다.

1) 교환법칙

 

2) 분배법칙

 

 

3) 분배법칙

Identity system... 등의 LTI system의 성질이 더 남아있는데 필요시 다음에 정리하겠다.