신호처리기초 (22) 썸네일형 리스트형 신호를 STFT시 window에 따른 spectrogram의 shape 살펴보기 2초짜리 waveform을 48kHz한다고 하자. 1. FFT의 window size가 128일 때 window 길이는 몇 초일까? 2. (time 축에 관하여)frame의 개수는 어떻게 될까? 1) FFT의 window size가 64일 때 frame의 개수는 어떻게 될까? 2) FFT의 window size가 128일 때 frame의 개수는 어떻게 될까? 3) FFT의 window size가 128, hop size가 64일 때 frame의 개수는 어떻게 될까? 3. (frequency 축에 관하여)frequency bin은 어떻게 될까? 1) FFT의 window size가 64일 때(64 point FFT) 2) FFT의 window size가 128일 때(128 point FFT) 1. FFT의.. 나이퀴스트 Sampling이 나오기까지 무엇을 Sampling이라고 일컫는가 연속 신호에서 특정 시간 간격($T_S$)을 두고 수열 형태로의 이산 신호를 얻는 과정을 샘플링이라고 한다. 이때의 $T_s$를 샘플링 주기라고 한다. 그렇게 샘플링된 신호 $x(nT_s)$를 x[n]으로 표기한다. 샘플링을 하면 어떤 현상이 발생하는지 알아보자. $$x(t) = cos2\pi f_0t \Rightarrow x[n] = cos2\pi \frac{f_0}{f_s}n$$ 샘플링을 하면서 바뀐 부분은 두 가지이다. 1) $f_0 \rightarrow \hat{f}(=\frac{f_0}{f_s})$ 2) $t \rightarrow n$ 1) $f_0 \rightarrow \hat{f}(=\frac{f_0}{f_s})$ 시간에 대한 주기의 변화를 나타내는 Hz.. [라플라스변환]푸리에변환과 라플라스 변환 신호를 지수함수의 조합으로 나타내는 것을 주기신호에 대해서(푸리에 급수), 비주기신호 중 유한한 신호에 대해서(푸리에 변환) 다루었다. 이제는 신호가 발산하는 경우에 대해서 어떻게 다루어야 할 지 살펴보자. 지수함수는 eigenvalue H(s)가 존재한다면 eigenfunction이 될 수 있다고 했다. $$H(s) = \int^{\infty}_{-\infty}h(t)e^{-st}dt$$ (여기서는 $H(s)$가 eigenvalue로서가 아닌, $h(t)$의 라플라스변환으로 해석될 예정이다.) $H(s)$가 존재할 조건으로 Stability가 있다. 시스템이 안정하면 $\int^{\infty}_{-\infty}|h(t)|dt < \infty$를 만족하여 $H(jw)$가 존재한다. $H(jw)$가 존재하.. [푸리에급수]푸리에급수와 LTI 시스템 지수함수는 Eigenfunction이다 이전에 Eigenvalue $H(s)$와 Eigenfunction $e^{st}$과 관련한 이야기를 했었다. 이때 선형성을 만족한다는 점에서 아래의 선형결합 형태 역시 구할 수 있다고 이야기했다. 여기서 이야기를 더 진행시켜보자. 저 입력 신호 $\sum$ 쪽을 푸리에 급수 형태로 나타내는 것도 가능해보인다. 그럼 출력을 연속 y(t), 이산 y[n] 로 구할 수 있다. 위의 무한 개수의 정현파의 조합으로 이루어진 $x(t)$와 $x[n]$에서 정현파 하나를 찝어내본다고 하자. 연속시간에서는 Eigenfunction을 $e^{st}$에서 $s=jw$한 $e^{jwt}$을, 이산시간에서는 Eigenfunction을 $z^n$에서 $z=e^{jw}$한 $e^{jwn}$.. [푸리에급수]DTFS 유도하기 DTFS 연속시간을 봤으니 이제는 푸리에급수 이산시간 버전에 대해서 알아보자. 지수함수와 주기를 공유하는 정현파에 대해서 말할 때에 연속은 주기신호를 이루는 정현파가 무한히 많은 데에 반해, 이산은 주기신호를 이루는 정현파가 딱 주기 개수 만큼 있다고 이야기했다. 직관적으로 생각해보자. 이산에서는 최대주파수라는 개념이 존재했고 이는 곧 매 time 마다 바뀔 때를 말한다. $x[n] = x[n+2]$이고 이때의 주기는 2, 주파수는 $\pi$이다. 곧 이산에서의 최대주파수는 $\pi$이고, $2\pi$씩 같은 개형이 반복된다. 그럼 위와 같은 신호는 N=2이므로 두 개의 정현파로 이루어진 것이겠다. 이때 하나는 k=0으로 상수항(높이)이 되고 k=1인 경우가 그래프의 개형을 결정짓게 되겠다. 연속시간과의.. [푸리에급수]연속시간 푸리에 급수의 성질 푸리에 급수의 성질 에 대해서 이야기해보자. 1. Linearity x, y의 주기가 같다는 전제 하에 진행된다. 두 함수의 선형 조합의 푸리에 급수 계수는 두 함수 푸리에 급수 계수의 선형 조합이다. 2. Time Shifting 이때 진폭 스펙트럼은 변화가 없다. $|b_k| = |a_k|$ 생각해보면 함수를 이동시킨다 한들, 비중이 달라지지는 않겠다. Time domain에서의 이동은 frequency domain에서 지수함수를 곱한다(Time shifting). 반대로 time domain에서 지수함수를 곱하는 것은 frequency domain에서 이동이다(Frequency shifting). 3. Time Reversal 4. Time Scaling $\alpha$배 scaling되면 fund.. [푸리에급수]푸리에 급수의 계수 구하기 우리는 주기신호를 주기 T를 공유하는 지수함수의 조합으로 표현할 수 있다! 고 이야기했다. $$x(t) = \sum_\limits{k=-\infty}^{\infty}a_k\phi_k(t)$$ where $\phi _k(t) = e^{jkw_0t} = e^{jk\frac{2\pi}{T}t}$ ( k = ..., -1, 0, 1, ... ) 그럼 여기서 계수 $a_k$는 어떻게 구할까? 우선 아래 예시를 살피자. 위 개념을 적용하여 $x(t) = \sum_\limits{k=-\infty}^{\infty}a_k\phi_k(t)$ , $\phi _k(t) = e^{jkw_0t}$ 여기서의 $\phi_k(t)$라는 기저함수가 이들간 직교성을 만족한다면 계수 $a_k$를 구하기 쉬워지겠다. 함수의 직교성 함수 f와.. [푸리에]푸리에를 들어가기 전 지수함수와 eigenfunction 지수함수는 eigenfunction이다!!!!! 를 외치고 시작하겠다. 고유벡터와 고유함수 우선 eigenvector와 eigenfunction간 관계를 보자. $$Av = \lambda v$$ 행렬 A라는 선형변환(연산자)을 v에 가함으로써, 방향은 같되 크기만 달라질 때($\lambda$만큼) 이때의 v를 eigenvector 고유벡터, $\lambda$를 eigenvalue 고유치 라고 한다. Eigenfunction 위의 개념을 그대로 갖고와서 $Av = \lambda v$의 방향에 해당하는 것이 여기서는 함수의 생김새이다. 그리고 이는 곧 eigenfunction이다. 특별히 이 eigenfunction에 해당하는 함수가 지수함수이다. LTI 시스템일 때에는 impulse를 시스템에 넣어 imp.. 이전 1 2 3 다음
