[푸리에급수]푸리에 급수의 계수 구하기

 

우리는 주기신호를 주기 T를 공유하는 지수함수의 조합으로 표현할 수 있다! 고 이야기했다.

 

$$x(t) = \sum_\limits{k=-\infty}^{\infty}a_k\phi_k(t)$$

where $\phi _k(t) = e^{jkw_0t} = e^{jk\frac{2\pi}{T}t}$   ( k = ..., -1, 0, 1, ... )

 

 

그럼 여기서 계수 $a_k$는 어떻게 구할까?

우선 아래 예시를 살피자.

 

 

 

위 개념을 적용하여

 

$x(t) = \sum_\limits{k=-\infty}^{\infty}a_k\phi_k(t)$ ,   $\phi _k(t) = e^{jkw_0t}$

여기서의 $\phi_k(t)$라는 기저함수가 이들간 직교성을 만족한다면 계수 $a_k$를 구하기 쉬워지겠다.

 

 

함수의 직교성

함수 f와 g의 어떠한 구간 [a, b]에서 직교한다면 그 내적은 0이다.

 

복소수 version의 함수의 내적

<$\phi_k(t)$, $\phi_n(t)$>  =  $\phi_k(t)$$\phi_n^*(t)$

 

 

 

서로 다른 주파수를 갖는 k $\neq$ n일 때 직교성을 만족하고

같은 주파수대를 갖는 k = n 일 때 T값이 나온다.

 

 

직교성을 확인했으니, 다시 계수 $a_k$를 구하는 여정을 떠나자.

둘다 같은 내용인데 오른쪽 게 더 직관적으로 다가올 수 있겠다.

 

$$\int_Tx(t)\phi_n^*(t)dt = Ta_n$$

 

$\phi_n(t)$의 직교성을 통해 이와 같은 결론이 도출되었다.

이제 계수 $a_k$를 구할 수 있게 된다.

맨 위에서 보인 예시와 대응시켜보면 다음과 같이 개념이 연결될 수 있다.

 

 

 

 

 

1줄 요약

 

 

 

$x(t)$가 실수 주기 신호($x^*(t) = x(t)$) 일 때는 $a_k = a_{-k}^*$이자 $a_{-k} = a_k^*$가 된다.

즉 k가 양수일 때를 알면 음수일 때를 알 수 있다. (ex : $a_1$를 알면 $a_{-1}$을 알 수 있다)

 

$a_k$를 polar form으로 나타내면 $a_k = A_ke^{j\theta_k}$이고

rectangular form으로 나타내면 $a_k = B_k + jC_k$이 된다.

x(t)가 실수인 경우 $a_k$의 절댓값이나 실수 부분, 허수 부분인

$A_k, B_k, C_k$ 모두 k차(한 주기 동안 k cycle) 고조파의 성분이 된다.(함유량이랄까)

상대적인 비중을 나타낸다. 이때 이 주기신호들은 power 신호이다.

 

k축에 대해서 $a_k$의 절댓값, 실수, 허수 부분을 그려서 특정 주파수 성분이 다른 주파수 성분보다 많다/적다 이야기가 가능해진다.

즉 푸리에 급수 전개를 통해 각각의 고조파 성분간 비중 비교가 가능해진다.