[신호와시스템]연속시간 LTI시스템과 impulse로 신호 나타내기

 

 

우리는 연속시간에서 impulse 함수를 굉장히 불편하게 마주했었다. 왜냐하면 $\delta(0)$일 때 정의가 안되기 때문이다.

 

[신호와시스템]Impulse에 대해 알아보기

 

참고로 $\infty$는 숫자가 아니다. <존재하지 않는다. 발산한다.> 라는 수학적 기호임을 유의!!

그래서 $\delta(t)$는 함수로 보기 어렵다고까지만 이야기 했었다.

대신 이를 뭔가 들들 볶아서 해소하는 방안은 있는데, 이에 대한 이야기가 진행될 것이다.

 

아래 $x(t)$와 $\delta_{\Delta}(t)$가 있다.

 

 

 

$\delta_{\Delta}(t)$의 함수로 $x(t)$를 어거지로 표현해본다고 하자.

그러면 함숫값이 다음처럼 표현된다.

 

 

그래서 우리는 마지막 식

 

$$x(t) = \int^{\infty}_{\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau$$

 

impulse 함수를 활용하여 신호를 표현하였다.

보는 바와 같이 LTI 성질을 만족하고 이는 Convolution의 개념과 같은데

 

$$x(t) = \int^{\infty}_{\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau = x(t) * \delta(t) = \underset{\Delta\rightarrow 0}{\textrm{lim}}[x(t) * \delta_{\Delta}(t)]$$

(명료하게 쓰면 마지막 식)

 

여기까지 확장 가능한 것이다.

즉 convolution은 LTI 그 자체인 것.

 

 

Impulse 함수를 (함수가 될 수 없지만) 다음과 같이 정의한다.

$$\delta(t) =  \underset{\Delta\rightarrow 0}{\textrm{lim}}\delta_\Delta(t) = \left\{\begin{matrix}
\infty & t=0 \\
0 & t \neq 0 \\ 
\end{matrix}\right.$$

 

엄밀하게는 $\delta(t)$는 함수가 아니라서 이렇게 표기하면 안되는거 맞다. 그런데 편의상 앞으로는 이렇게 이야기할 것이다.

$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt := \underset{\Delta\rightarrow 0}{\textrm{lim}}\int_{-\infty}^{\infty}\delta_\Delta(t)dt = 1$$

 

 

마찬가지로 Sampling Property에서도 표기는 이렇게 하되, 속뜻은 이렇게 받아들이면 된다.

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t)dt := \underset{\Delta\rightarrow 0}{\textrm{lim}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta_\Delta(t)dt = f(0)$$

 

이전에 말했던 impulse 함수로 신호를 나타내는 것은 결국 위를 고려하여

$$x(t) = x(t) * \delta(t)$$

이를 말하는 것이다!

 

 

이산에서와 마찬가지로 

1) 신호를 impulse들의 샘플링 조합으로 Convolution을 통해 나타내고

2) Impulse response를 알아내어 Linear와 Time Invariance를 이용해 시스템에 대한 신호의 출력을 

Convolution인 입력 * impulse response으로 표현한다.

 

 

결국 이산과 연속에서의 LTI 시스템의 출력은 다음으로 구하게 된다.

$$x[n] = x[n] * \delta[n] \rightarrow y[n] = x[n] * h[n] = \sum_\limits{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k]$$

$$x(t) = x(t) * \delta(t) \rightarrow y(t) = x(t) * h(t) = \int^{\infty}_{-\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau$$