[신호와시스템]시스템의 성질

System이란 무엇일까?

 

시스템은 함수(signal)를 함수(signal)에 대응시키는 함수(system)라고 생각하면 된다.

그래서 시스템은 함수(signal)의 함수이다.

 

 

 

 

시스템의 성질

Memory vs Memoryless

• Memoryless[Static]  : 현재의 출력에는 오로지 현재의 입력만 영향을 준다.
  $y(t) = Ax(t), A\neq 0$
• Memory[Dynamic] : 현재의 출력에는 현재 뿐 아니라 또다른(과거나 미래) 입력이 영향을 준다.
  $y[n] = x[n-1]$

 

실제 시스템은 Dynamic한 경우가 많기에 Static에는 관심 없다.

 

 

Causality

 

이러한 Dynamic도 두 가지로 나뉘는데

• Causal[Non-anticipative] : 현재 출력이 과거부터 현재까지의 입력에 영향을 받는 경우(미래 해당 x)
  현재의 출력에는 미래의 입력에 관한 정보가 들어있지 않아 예측 조차 불가능하다.
• Non-causal[Anticipative] : 현재 출력이 과거, 현재, 미래의 input 모두 영향을 받는 경우(미래 해당 o)
  
  

 

 

실제 시스템은 미래 입력에 영향 받는 경우가 존재하지 않기에 Non-causal도 관심 대상이 아니다.

 

 

만약에 t가 시간이 아니라 공간이라면 causal하지 않은 시스템도 당연히 관심을 두겠다.

그러나 그러한 경우가 아니라면 시스템의 causality를 전제한다.

 

$y(t-1) = x(t)$이면 당장의 t-1 시점에서의 출력을 구할 때 t라는 미래 시점의 input인 x(t)가 필요하므로 non-causal이다.

$y(t) = x(t)cos(t+1)$ 위와 달리 미래의 x에 영향을 받는 것은 아니다. 그러므로 causal하다.

 

 

Invertibility

 

x(t)가 어떤 system을 거쳐서 y(t)가 되었다.

y(t)를 입력으로 어떤 시스템을 거쳐 z(t)가 출력되었는데

이때 z(t)가 x(t)가 되게 할 수 있는 것.

 

 

 

Inverse system이 존재할 때 invertible하다고 말한다.

 

 

$y(t) = 2x(t) \Rightarrow z(t) = \dfrac{1}{2}y(t)$

$y[n] = \sum_\limits{k=-\infty}^nx[k] \Rightarrow z[n] = [n] - y[n-1]$

($y[n] = \sum_\limits{k=-\infty}^nx[k]$ 일 때 $y[n] - y[n-1] = x[n]$을 원래 만족한다)

 

Invertible이 왜 중요할까?

 

x(t)를 보내고 싶은데 x(t)를 그대로 받지 않고 encoding하여 y(t)로 만들어 보낸다.

받는 쪽에서는 이를 decoding하여 w(t)( = x(t))로 reconstruction한다.

 

이상적으로는 decoder가 encoder의 Inverse system이면 좋겠다.

이러한 경우 system의 invertibility가 중요하겠다.

 

 

Stability

 

x(t) → A → y(t) 에서 시스템이 안정하다는 것은 모든 유한한 입력에 대해서 출력도 유한하다라는 의미이다.

 

입력이 유한하기만 하면 출력도 유한하다는 것 

 

x(t) is bounded → y(t) is bounded

 

 

신호가 유한하다(Bounded)라는 건 뭘까?

 

직관적으로 보면 $sin(t)$는 유한하고 $t^2$, $t$는 유한하지 않다.

딱 봤을 때 함숫값이 t에 따라 끝없이 나아가거나 그렇지 않거나 하다. 

 

$t^2$가 유한하지 않은 것은 $|t^2| \leq C$ 즉, 모든 t에 대해서 어떤 상한선과 하한선 안으로 가둘 수 없기 때문이다.

유한하다는 것은 $C\geq 0$ 라는 숫자가 존재하여 모든 t에 대해서 $|f(t)| \leq C$

 

결론적으로는 $t^2$, $t$ 모두 유한하지 않다.

 

 

 

안정하지 않다(Unstable)는 것은?

 

x is bounded → y is unbounded

y가 unbounded된 어떤 유한한 x가 하나라도 존재한다.

 

$\dfrac{1}{t-1}$에서 t = 1인 bounded 상황에서 함숫값은 $\infty$로, unbounded 되어있다.

그러나 $t^2$는 모든 유한한 실수 t에 대해서 함숫값이 다 실수로 표현할 수 있다.

 

어떤 시스템이 stable한지를 실험으로 판단할 수 없다. 

세상에 모든 유한한 입력을 가지고 test 할 수 없기 때문이다.

Unstable은 t = 1의 상황처럼 어떤 하나만 존재하면 되니까 운좋으면 경험적으로 판단할 수 있다.

 

$y(t) = tx(t)$일 때 $x(t) = 3$ 같은 상수입력(bounded!!!)이 들어갔다.

그러면 $y(t) = 3t$이므로 출력이 유한하지 않다. t에 대한 제약 조건은 없기 때문이다.

이러한 사례는 Unstable에 해당하겠다.