[신호와시스템]Impulse에 대해 알아보기

우리는 앞으로 주어진 신호를 1) impulse 2) 지수함수의 조합으로 나타내볼 것인데,

그렇게 될 때 얻게 되는 장점 및 특징을 살펴보도록 하자.

 

이 글에서는 신호를 impulse의 조합으로 나타내는 이야기를 할 것이다.

신호를 지수함수의 조합으로 나타내는 것은 푸리에로부터 시작된다.

푸리에를 들어가기 전 지수함수와 eigenfunction

 

 

1) Discrete time signal 표현하기

 

이산시간 신호이므로 각 sample들의 summation $\sum$ 형태가 되겠고 time index n마다의 해당 샘플을 impulse 함수를 가지고 어떻게 골라내는지 보아야겠다.

 

 

Discrete version의 Impulse란?

 

 

 

0에서만 1 값을 갖고 나머지에 대해서는 0을 갖는다.

 

이 함수를 통해 어떻게 샘플링할 지 그림으로 살펴보게되면,

 

 

 

$n_0$만큼 이동한 $\delta[n-n_0]$에서 그대로 $x[n]$을 곱하면 $x[n_0]$값만 살아남(sampling)겠다.

그렇게 impulse 함수를 이동해가면서 x[n]의 신호를 표현할 수 있겠고 이는 다음과 같다.

$$x[n] = \sum_\limits{k=-\infty}^{\infty} x[k]\delta[n-k]$$

 

그래서 impulse의 이산에서의 sampling property가 아래와 같다.

• $x[n]\delta[n] = x[0]\delta[n]$
• $x[n]\delta[n-n_0] = x[n_0]\delta[n-n_0]$

<좌변을 계산하는 것이 우변을 계산하는 거나 마찬가지이다> 정도로 해석하면 되겠다.

 

 

 

2) Continuous time signal 표현하기

 

연속시간 신호이므로 무언가의 integral $\int$ 형태가 되겠고 이 무언가를 impulse 함수를 가지고 어떻게 나타내는지 보아야겠다.

 

 

Continuous version의 Impulse란?

Discrete와 달리 impulse 함수가 약간 까다롭다. 잘 살펴보자.

 

우선 Impulse 함수의 면적이 1임을 전제로 깔고 들어간다. ($\int^{\infty}_{\infty}\delta(t)dt=1$)

이때 △가 매우 작아진다고 생각해보자. 이에 따른 height는 높이 뻗어나갈 것이다.

 

 

! Continuous 관점에서 impulse 함수 $\delta (t)$는 사실 함수로 보기 어렵다 !

 

왜냐하면 $\delta(0)$를 아무리 매우 큰 상수라고 한들 적분하면 0이 나와 전제를 지키지 못하고,

그래서 $\delta(0)$을 무한대라고 하자니, 발산이면 사실 함숫값이 존재하지 않는 것이다.

 

이는 나중에 어떤 신호와 impulse의 조합으로써 이러한 갈등을 해소하게 된다.(해결은 아니다 ,,)

해당 링크에는 왜 impulse로 신호를 표현하면 좋은 지도 설명되어있다.

https://keyboard-lover.tistory.com/48

 

그래서 당장은 탐탁치 않지만, impulse를 다음과 같이 정의한다.

 

$\delta(t) = \underset{\Delta\rightarrow 0}{\textrm{lim}} \delta_{\Delta}(t)= \left\{\begin{matrix}
\infty & t=0 \\ 
0 &  t\neq 0\\
\end{matrix}\right.$

 

이산에서와 마찬가지로 신호 $x(t)$를 impulse의 조합으로 표현하면 다음을 만족한다.

 

$x(t) = \int^{\infty}_{\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau$

 

Summation만 Integral로 바뀐 형태라고 볼 수 있겠지만 이 속에는 많은 이야기가 담겨 있으니 위 링크를 꼭 보자.

 

Sampling property도 다음과 같다.

• $x(t)\delta(t) = x(0)\delta(t)$
• $x(t)\delta(t-t_0) = x(t_0)\delta(t-t_0)$

위에 의해 아래도 만족하게 된다. 

$\int^{\infty}_{\infty}x(t)\delta(t-t_0)dt = x(t_0)$