[신호와시스템]신호의 기본개념(3) - 지수함수

지수함수를 이산 신호에서 표현하게 된다면 알아두어야 할 점은

 

1) $\dfrac{w_0}{2\pi}$ 가 유리수인 경우에만 주기신호이다.

 

2) $e^{j(w_0+2\pi)n} = e^{jw_0 n}$

 

왜? $e^{j2\pi n} = 1$이기 때문이다.

 

복소평면 상에서 볼 때 $2\pi$마다 똑같은 그림이 반복될 것이다. 

 

 

구체적으로는 $-\pi ≤\ w_0 < \pi$ 에서만 $w_0$ 크기가 늘어날 수록 진동이 점점 빨라지고

이를 넘어가는 범위에서는 해당되지 않는다.

 

즉 이산 신호에서는 $w_0 = 0$과 $w_0 = 2\pi$가 같은 주파수이다.

 

 

연속 신호에서의 상수함수는 최소 주기가 양의 실수로 주기가 존재하지 않았다.

이산 신호에서의 상수함수는 최수 주기가 양의 정수가 1로 주기가 존재한다.

 

 

이산 신호에서 주파수는 항상 주기적으로 변한다.

그래서 이산 신호에서는 연속 신호에서와는 달리, 가장 높은 주파수라는 개념이 존재한다.

가장 높은 주파수의 절댓값을 $\pi$라고 말할 수 있겠다.

 

주기를 공유하는 정현파(Harmonically Related signal)

연속 신호에서는 $w_0, 2w_0, 3w_0, ...$ 무한히 존재하지만

이산 신호에서는 $2\pi$ 주기성 성질에 의해서 딱 주기수 N만큼 존재한다.

 

N=4일 때 $e^{j\frac{\pi}{4}}=e^{j\frac{9\pi}{4}}=$... 이 되기 때문에 결국 같은 취급 당하여 2$\pi$만큼만 보면 된다.

 

 

 

푸리에 급수와 연관지어 이야기하자면,

무한히 많은 기저 함수의 조합으로 주어진 신호를 표현하는 것이 CTFS 이겠고,

 

N개의 기저함수의 조합으로 주어진 신호를 표현하는 것이 DTFS이겠다.