[푸리에급수]푸리에급수와 LTI 시스템

 

지수함수는 Eigenfunction이다

이전에 Eigenvalue $H(s)$와 Eigenfunction $e^{st}$과 관련한 이야기를 했었다.

 

 

 

이때 선형성을 만족한다는 점에서 아래의 선형결합 형태 역시 구할 수 있다고 이야기했다.

 

 

 

 

여기서 이야기를 더 진행시켜보자.

 

저 입력 신호 $\sum$ 쪽을 푸리에 급수 형태로 나타내는 것도 가능해보인다.

그럼 출력을 연속 y(t), 이산 y[n] 로 구할 수 있다.

 

 

위의 무한 개수의 정현파의 조합으로 이루어진 $x(t)$와 $x[n]$에서 정현파 하나를 찝어내본다고 하자.

연속시간에서는 Eigenfunction을 $e^{st}$에서 $s=jw$한 $e^{jwt}$을,

이산시간에서는 Eigenfunction을 $z^n$에서 $z=e^{jw}$한 $e^{jwn}$을 LTI 시스템에 넣어보면 다음과 같다.

 

 

 

 

 

우리는 보통 복소수를 크기와 위상을 가지고 표현할 수 있다.

 

 

 

이런 점에서 출력 $y(t)$를 바라보면 $H(w)$만큼 Eigenfunction이 변화했다고 볼 뿐 아니라,

동일한 주파수의 정현파가 나오되, Eigenvalue의 진폭과 위상만큼 변화가 있다고 볼 수 있겠다.

 

 

 

$x(t)$를 푸리에 급수로 표현한 것에 적용하면 

$$x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_ke^{jkw_0t} \to y(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} d_ke^{jkw_ot}$$

 

이때 $d_k = H(kw_0)c_k$ 이고 이에 대한 진폭과 위상을 구하면 다음과 같다. 그래서 출력에 대해서 크기는 Eigenvalue의 크기만큼 변화되었고 위상은 Eigenvalue의 위상만큼 달라졌다고 볼 수 있다.

$$|d_k| = |H(kw_0)|c_k|, \measuredangle d_k = \measuredangle H(kw_0) + \measuredangle c_k$$

 

 

 

시스템을 Filter이라는 관점으로 바라볼 수 있다. 음악을 들을 때 베이스 소리가 중요해서 저주파 영역을 증폭하는 것도 Filter을 통과한 것이다.

 

1) lowpass filter

2) highpass filter

3) bandpass filter