나이퀴스트 Sampling이 나오기까지

무엇을 Sampling이라고 일컫는가

 

연속 신호에서 특정 시간 간격($T_S$)을 두고 수열 형태로의 이산 신호를 얻는 과정을 샘플링이라고 한다. 이때의 $T_s$를 샘플링 주기라고 한다. 그렇게 샘플링된 신호 $x(nT_s)$를 x[n]으로 표기한다.

샘플링을 하면 어떤 현상이 발생하는지 알아보자.

 

①②③

$$x(t) = cos2\pi f_0t \Rightarrow x[n] = cos2\pi \frac{f_0}{f_s}n$$

 

샘플링을 하면서 바뀐 부분은 두 가지이다.

1) $f_0 \rightarrow \hat{f}(=\frac{f_0}{f_s})$

2) $t \rightarrow n$

 

1) $f_0 \rightarrow \hat{f}(=\frac{f_0}{f_s})$

시간에 대한 주기의 변화를 나타내는 Hz에서, "샘플 당 반복 수"라는 기존과는 다른 개념의 이산 주파수로 변했다.

위에서는 1초 동안 샘플 8개를, 1초 동안 2번 반복하는 신호에서 샘플링했다. 그러므로 $\hat{f} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

즉 샘플 당 이산 신호 한 주기에 기여하는 기여도의 느낌으로 생각하면 되겠다. 여기서는 이산 시간에서 한 주기를 생성해내기까지 샘플 당 $\frac{1}{4}$ 씩 4개가 모였다.

 

2) $t \rightarrow n$

시간 개념이 모조리 없어지고 수열의 형태를 띠게 되었다. 

 

아래를 보면 좀더 정리가 잘 되겠다. ①과 ③을 비교하면 연속에서는 다른 주기를 갖는 다른 신호이지만 다른 sampling rate를 적용하니 같은 주기의 이산신호로 변모되겠다.

$x_1[n] = x_1[n+4]$, $x_2[n] = x_2[n+4]$

 

②와 ③을 비교해보면 같은 신호 $x_2(t)$에서 다른 sampling rate를 주니 다른 주기의 이산신호로 나타났다.

$x_2[n] = x_1[n+16]$, $x_2[n] = x_2[n+4]$

 

 

이에 자연스럽게 $w = 2\pi f$(rad/sec) $\rightarrow \Omega = 2\pi\hat{f}$(rad) 가 되었다.

"$2\pi$를 한 주기로 초당 회전한 rad" $w$에서 $\Omega$는 이제 샘플당 한 주기 $2\pi$를 생성하는 각도로서의 기여도 정도로 해석할 수 있겠다. 물론, sec라는 시간 개념은 역시나 사라졌다.

 

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샘플링한 이산신호의 스펙트럼을 그리면 sampling rate 만큼 반복된다.

위에서 얘기했던 연속 신호에서 이산적으로 값을 따는 것을, 수식적으로는 다음과 같은 과정을 통해서 이산화한다. 

연속 신호 x(t)와 impulse들의 나열로 이루어진 impulse train과의 곱의 형태로 샘플링이 이루어지고 impulse train의 사이 간격이 곧 샘플링 간격의 역할을 하겠다.

 

 

1) Impulse train is,

 

$$p(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta (t - nT_s)$$

 

2) Impulse train은 주기 함수니까 푸리에 급수로 표현 가능.

$$P(w) = \dfrac{1}{T_s}\int^{\frac{T_s}{2}}_{\frac{-T_s}{2}}\delta(t)e^{-jkw_st}dt = \dfrac{1}{T_s} \int^{\frac{T_s}{2}}_{\frac{-T_s}{2}}\delta(t)e^{-jkw_s0}dt = \dfrac{1}{T_s}$$

 

3) 역 푸리에 급수를 통한 Impulse train 재정의

$$p(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}P(w)e^{jkw_st} = \dfrac{1}{T_s} \sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{jkw_st}$$

 

이제 x(t)와 p(t)의 곱으로 샘플링된 이산 신호를 나타내보자.

 

4) 푸리에변환 성질 이용

$\mathfrak{F}[x(t)\cdot e^{jw_0t}] = X(w-w_0)$  주파수 이동 성질이다.

summation으로 이뤄진 p(t)에서 하나만 떼어내어 위 성질을 적용해보면

 

$$\mathfrak{F}[x(t)\cdot e^{jkw_st}] = X(w-kw_s)$$

 

 

$\mathfrak{F}[af(t) + bg(t)] = aF(\omega) + bG(\omega)$ 선형성까지 이용하게 되면

 

$$\mathfrak{F}[x(t)\cdot p(t)] = \dfrac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(w-kw_s)$$

 

비주기 연속 신호 $x(t)$의 푸리에 변환이 $X(w)$이고 이 연속신호의 스펙트럼 분포가 $f_s$마다 반복된다.

그렇다면 우리는 매우 중요한 특징을 알게 되는데, 이는 바로 샘플링된 신호에 대하여 주파수 스펙트럼이 $w_s$마다 반복되어 그려진다는 것이다(축을 $f$로 두면 스펙트럼이 sampling rate마다 반복된다).  $\frac{1}{T_s}$도 있으므로 높이에 해당 상수만큼 곱해주어야 한다는 것도 잊지 말자.

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샘플링 이론, 샘플링을 얼만치 해야하는데?

이제부터 나이퀴스트 샘플링 이론도 같이 이야기할 수 있는데 샘플링을 통해 샘플을 얼마나 취해야 하느냐와 연관된다.

일단 신호 x(t)는 주파수 영역에서 어떤 주파수 범위 내에서만 성분이 존재하는 band limited signal을 가정한다. 이러한 연속신호 (a)를 푸리에 변환하면 (b)와 같이 나타나는 것이다.

($f$에서는 B, $\omega$에서는 $\omega_b$)

 

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(d)는 (a)에서 sampling을 취한 것, (e)는 그에 따른 스펙트럼의 분포를 나타낸 것이다. 만일 band limited가 $2\pi B$(=$\omega_b$)로 되어있고, sampling rate는 $\omega _s$일 때, 그려지는 스펙트럼 분포가 띄엄띄엄 그려진다면 low pass filter을 이용해 기저대역의 스펙트럼만 추출한 뒤 $T_s$배만큼 증폭시키면 연속 주파수 스펙트럼과 같은 스펙트럼이 나오겠다. 이러한 경우 정확하게 신호를 연속신호로 복원할 수 있다.

 

 

 

 

왼쪽이 바로 위의 예제이다. 확실히 띄엄띄엄 스펙트럼이 그려지려면 구체적으로 $B > f_s - B$ 즉 $f_s < 2B$이어야 한다.

그렇게 딱 low pass filter로 왜곡되지 않게 필터링할 수 있는 마지노선이 $f_s = 2B$인 경우이다. 이외의 구간 $f_s-B < B$가 되면 low pass filter을 했을 때 연속 신호에서의 주파수 spectrum과 다르게 왜곡되어 x(t)를 제대로 복원할 수 없게 된다. 이러한 현상을 Aliasing이라고 부른다. 

 

그러므로, 샘플링 정리에서 말하고자 하는 것을 정리해보면 다음과 같다.

섀넌의 샘플링 정리
신호를 완전하게 복원하기 위한 샘플링 조건은 샘플링 주파수$f_s(\omega _s)$가 신호의 최대 주파수$\omega _b, f_b$보다 적어도 두배 이상은 커야 한다.

나이퀴스트 샘플링 주파수
복원 가능한 최소 샘플링 주파수 $f_s = 2f_b$